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1: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:04:51.02 ID:+KRXEE0u0●.net BE:614796825-PLT(17667) ポイント特典
「五輪」にかけた青春~数学は人生をどう変えたのか
国際数学オリンピック銀メダリスト 近藤宏樹
http://www.yomiuri.co.jp/kyoiku/ichiran/20160420-OYT8T50063.html

 数学オリンピックは、才能を伸ばすチャンスや数学好きの人に交流の場を与えることを目的としたもので、問題も学校の数学とは少し毛色が異なります。解き方を知っているかではなく、知識を組み合わせて考える力が問われるのです。

 具体的に、数学オリンピックではどんな問題が出題されるのでしょうか?一つだけ例を挙げます。これは、日本ジュニア数学オリンピックという中○生向けの大会の予選問題です。

問.n+16と16n+1がともに平方数となるような正の整数nをすべて求めよ。


>>1
こんなの無限にあるんじゃないの?

36: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:17:56.86 ID:x++dm4DP0.net
>>1
お前は習ったばかりだからそりゃできるだろ
長年してなかったら憶えてるわけない

2: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:06:42.05 ID:Xo/fBf91O.net
そんなもん求める必要があるのかね?(´・ω・`)

4: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:07:56.69 ID:En/0doU+0.net
ちょっと待て
いま考えてる

159: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:44:31.09 ID:EQabzatm0.net
中○生風に解いてみた

n+16=a^2…①
16n+1=b^2…②
①②よりnを消去してまとめると
(4a+b)(4a-b)=3*5*17
4a+b>>4a-bに注目して考えられる(2a+b, 2a-b)の組み合わせは
(2a+b, 2a-b)=(17,3*5), (17*3, 5), (17*5, 3), (17*5*3, 1)
この4通りだけで有限である。
4a+b=X,,4a-b=Yとすると、
a=(X+Y)/8
b=(X-Y)/2
であることを利用し
(a,b)=(4,1), (7,23), (32, 127), (11, 41)
このときそれぞれ①②を満たすことが確認でき、それぞれn=0, 33, 1008, 105
nは正の整数なので、n=33, 1008, 105

202: 名無しさん 2016/05/01(日) 06:18:10.95 ID:hI1t2Gec0.net
>>159
45歳だけどさっぱりわからん
途中で2a+b,2a-bになってるのはなんで?

6: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:09:39.81 ID:QMTunaObO.net
わははは全っ然わからん

8: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:10:01.49 ID:oVGtdzr00.net
.。ozzz

9: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:10:05.97 ID:dLFYzgA90.net
わかるんだけど今書いたら後からスレ開いた人が可哀そうだから書かないでおく

12: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:11:50.24 ID:y8fySFZi0.net
つーか平方数ってなんだっけ
16の平方根?とかいうのが4になるのか?なんか二乗するヤツだよな

15: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:12:57.08 ID:bCyRdw3kO.net
平方数てなんだ?
平方根ならわかるが、、、

16: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:13:23.22 ID:Ylyy+9Wn0.net
へいぽーすうとか習ってねぇよ

18: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:14:17.53 ID:hutAct7E0.net
n+16で平方数は25,36,49,64,81・・となるからその時のnを16n+1に代入して平方数か確認すればいけそうだけど
有限だとどこかでわかるのかね

19: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:14:25.99 ID:N4lwGT/n0.net
悲報、J民平方数を知らない

26: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:15:30.28 ID:N4lwGT/n0.net
J民の学力って高校生にも見たないのか…

33: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:17:02.24 ID:VjI7aPyh0.net
気が付いたら、理数系が小学レベルになってたわ・・・。orz
国語や社会科目は、大卒レベルだけどな。
明日、図書館で「大人のやり直し算数」でも借りてくるか・・・。

34: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:17:24.40 ID:OyaWeuVQ0.net
n+16=x^2
n=x^2-16

16n+1=y^2
n=(y^2-1)/16

x^2-16=(y^2-1)/16
16(x^2-16)=y^2-1
y^2=16(x^2-16)+1
y=16(x^2-16)+1

答え
y=16(x^2-16)+1

45: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:21:00.06 ID:WygVQCJw0.net
>>34
肝心なnが消えてるやんw

63: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:32:13.19 ID:B6tJUOcS0.net
>>34
nを求めろや

81: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:42:53.42 ID:GI4/F3BP0.net
>>34
y^2=16(x^2-16)+1

からどこをどうやれば

y=16(x^2-16)+1

になるんだ?

116: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:02:38.50 ID:qoO/dR6j0.net
>>34
ここまできてミスるか?
n>>0より

116: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:02:38.50 ID:qoO/dR6j0.net
x>>>4
y>>>4...①
nについて解くと
16x^2-y^2=225
(4x-y)(4x+y)=225
225=3*15*17
(4x-y,4x+y)の組み合わせは
(225,1) (85,3) (51,5) (17,15)
ただし(17,15)は①を満たさないので除外
よって求める自然数nの個数は3

129: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:08:50.82 ID:qoO/dR6j0.net
>>116
くせで+と-逆になってるわ

131: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:10:22.11 ID:DK5/RK7A0.net
>>129
それよりも255を225と書き間違えているように見える

146: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:23:26.05 ID:qoO/dR6j0.net
>>131
うわ本当にごめん
しかも225=3*15*17とかかいてるぅ~
255=3*5*17だわ
手元のと全然違う
pcむずかしい><
言い訳

38: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:18:38.22 ID:IasPThvj0.net
ユニバーサルメルカトル図法で余裕

39: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:18:42.11 ID:8JGOUpu30.net
問題の意味が分からない

222: 名無しさん 2016/05/01(日) 08:38:45.83 ID:7AiMp1DI0.net
>>39
二つの条件を満たす答えの平方根のもとの数字の数を求めよという意味

43: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:20:05.35 ID:RYhRCBV90.net
全て求めよってことはそれが有限だって証明しないといけないのか?

55: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:27:47.25 ID:yGpPEImY0.net
0と33と105と1008

74: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:37:46.99 ID:uGSUZzJo0.net
>>55
正の整数だと0は要らなくね?

56: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:27:54.16 ID:KkpY7Tu30.net
俺文系だからさっぱりわからんちん
作者がどんな気持ちでこの問題を作ったのか、とかなら多分解ける

125: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:06:37.43 ID:4g/IKqWC0.net
>>56
節子、これ文理関係ない出題範囲や

57: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:28:00.36 ID:jcb4/mL10.net
平方数の解説もしてくれねえとわかんねぇよ

58: 名無しさん 2016/04/30(土) 22:28:26.46 ID:G+DCIFWg0.net
a、bを整数として
n+16=a^2、16n+1=b^2
n=a^2-16、n=(b^2-1)/16
この2式が成り立つ(a,b)探せばいいのかな?

121: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:05:44.20 ID:DK5/RK7A0.net
n=33, 105, 1008
の3つかな

134: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:13:03.41 ID:McK30gsA0.net
あーしばらく数学やってないとダメだな
昔は得意だったのに

144: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:22:57.65 ID:DK5/RK7A0.net
たまにこういうのをやって
頭の錆を落とすのも悪くないな

150: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:27:26.05 ID:CJC7Sco80.net
楽勝
ユニバーサルメルカトル法で解くだけ

154: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:35:02.66 ID:8BePNDBT0.net
つか数学なんて中学までしかまともにやらなかった自分でも解けるし
理系様がムキになる問題じゃないわ

160: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:45:13.54 ID:5qTrn8D90.net
>>154
凄いな
懸賞金もらって老後は安泰ですね

164: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:58:19.63 ID:8BePNDBT0.net
>>160
スイマセン
電卓使いました
ちょっと粋がってしまいました

162: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:56:30.23 ID:yMkYEWSq0.net
数学なんて整理整頓

163: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:57:28.02 ID:anTPSpLM0.net
>>162
理路整然としないといけない美しい学問なのに
とっ散らかって
途中まで解けたらOKとかするからブサイクになる

170: 名無しさん 2016/05/01(日) 00:26:47.29 ID:H7C2Lege0.net
あ~、なるほど。255を素数分解する発想はなかったわ。
仮に思いついたとしても1×255は見逃す自信あるw
中学高校と割と数学は得意な方だったがまだまだだったなぁ。

180: 名無しさん 2016/05/01(日) 02:21:47.68 ID:dQvPmwp00.net
こんなんチャート式やってりゃわかるんでないの?

205: 名無しさん 2016/05/01(日) 06:30:07.64 ID:LReZxRi30.net
ひらかたさんおはよう

206: 名無しさん 2016/05/01(日) 06:36:47.59 ID:uqR6BlO10.net
こんなん、しらなくても社会人やっていけるし

207: 名無しさん 2016/05/01(日) 06:39:26.98 ID:SqJjbgx/0.net
平方数ってここ最近できた言葉だな
聞いたことねえ

156: 名無しさん 2016/04/30(土) 23:37:33.86 ID:KyIlajNb0.net
答えを知らなくても実生活に何の影響も無いです。


1001: 名無しさん@にゃー速 2014/01/01(日)23:59:59 ID:Nyaasoku
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引用元: 「n+16と16n+1がともに平方数となるような正の整数nをすべて求めよ」←解けたら中学生レベル